Об одной диагональной системе дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка от двух независимых переменных
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v105.i1.01Ключевые слова:
дифференциальные уравнения, диагональная система, частные производные первого порядка, асимптотическое поведение.Аннотация
Рассматривается диагональная система из трех дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка от двух независимых переменных. Уравнения, входящие
в диагональную систему друг от друга независимы, поэтому условия совместимости
системы не возникает. Рассматривается асимптотическое поведение решений на бесконечно
удаленной точке, относительно некоторого параметра. Основное место в системе занимает
нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка,
остальные уравнения являются присоединенными уравнениями, решения которых содержат
начальное значение одного независимого переменного как параметр. Присоединенные
уравнения выбираются подходящим образом, и изучается решение системы, уже имеющее
внутреннюю связь. Присоединенные уравнения являются линейными дифференциальными
уравнениями с частными производными первого порядка. Используя, что нулевые
решения характеристических уравнений являются асимптотически устойчивыми по
Ляпунову, описываются условия, когда совокупность трех дифференциальных уравнений,
рассматриваемых как диагональная система дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка имеет решение с определенными начальными значениями
и является бесконечно малой функцией в окрестности бесконечно удаленной точки.
Применяются методы теории функций и дифференциальных неравенств в теории
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка.
Библиографические ссылки
[2] Frobenius G., ”Ueber das Pfaffsche Problem”, Journal for die reine und angewandte Mathematik, (1877): 230-315
[3] Bendixcon I., ” Demostration de l’existence de l’integrale d’une equation aux derives partielles lineaire”, [Demonstration of the existence of the integral of a linear partial differential equation], Bull. Soc. Math. France, 24 (1896): 220-225.
[4] Picard E., Traite d’analyse [Treatise on analysis] (Paris: Gauthier-Villars. , 1896)
[5] Goursat E., Lesons sur l’integration des equations aux derives partielles du premier ordre. 2ed. [Lessons on integrating first order partial differential equations.] (Paris, 1921), 77-81
[6] Caratheodory C., Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung [Variational calculus and partial differential equations of first order] (Leipzig und Berlin:B. G. Teubner, 1935), 7-9
[7] Gunter N.M., Integrirovaniye uravneniy pervogo poryadka v chastnykh proizvodnykh [Integration of first order partial differential equations] (L.-M., 1934)
[8] Kamke E., Spravochnik po differentsialnym uravneniyam v chastnyh proizvodnyh pervogo poryadka [Referense book in first-order partial differential equations]. (М.: Nauka, 1966), 260
[9] Wazewski T., ”Sur l’unicite et la limitation des integrals des equations aux deriveespartielles du premier ordre”, [On the uniqueness and the limitation of integrals of first order partial differential equations], Atti R. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci.Fis. Mat. Nat., 18 (6) (1933): 372-376
[10] Wazewski T., ”Ueber die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung” [On the conditions of existence of the integrals of partial differential equations of the first order], Math. Zeit., VI.7-9 No.43. (1938): 522-532
[11] Wazewski T., ”Sur l’appreciation du domain d’existence des integrals de l’equation aux derives partielles du premier ordre” [On the appreciation of the domain of existence of the integrals of the equation with partial derivatives of the first order], Ann. Soc. Polon. Math. VI.9, No.14 (1935): 149-177
[12] Perron O., "Ueber diejenigen Integrale linearer Differentialgleichungen, welche sich an einer Unbestimmtheitsstelle bestimmt verhalten"[On the integrals of linear differential equations which are determined at an uncertainty point], Math. Ann., VI.13, No 70 (1911): 1-32
[13] Plis A., ”Characteristics of nonlinear partial differential equation”, Bull.Acad. Polon. Sci., No 2. (1954): 419-422
[14] Digel E., ”Uber die Bedingungen der Existenz der Integrale partieller Differentialgleichungen erster Ordnung” [On the conditions of existence of the integrals of the first order partial differential equations], Math Z, (1938): 445-451
[15] Haar A., ”Zur Characteristikentheorie”, [Characteristic Theory], Acta Sci. Math. Szeged, V.4. №2 (1928): 103-114
[16] Turski S., ”Sur l’unicite et la limitation des integrals des equations aux derives partielles du premier ordre”, [On the uniqueness and the limitation of integrals of first order partial derivative equations], Ann. Soc. Polon. Math., 120 (1933): 81-86;
[17] Petrovsky I.G., ”O probleme Koshi dlya sistem uravneniy s chastnymi proizvodnymi”, [On the Cauchy problem for systems of partial differential equations], Mat. Sbornik, V.2. No. 5. (1937)
[18] Nagumo M., ”Ueber die Ungleichung du/dy > f ( x, y , u, du/dy )” [About the inequality du/dy > f (x, y, u, du/dy )], Japan J. Math., 15 (1939): 51-56;
[19] Nagumo M., ”Ueber die Differentialgleichung y ′′ = f(x, y, y ′)”[About the differential equation y ′′ = f(x, y, y ′)], Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 19 (3) (1937): 861-866;
[20] Nagumo M., ”Ueber das Randwertproblem der nicht linearen gewohnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung”[On the boundary value problem of the non-linear ordinary differential equations of the second order], Proc. Phys.-Math. Soc. Japan, 24 (1942): 845-851;
[21] Hartman P., ”On exterior derivatives and solutions of ordinary differential equations”, Trans. Amer. Math., Soc., 91 (1959): 277-292.
[22] Kamke E., Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losungen[Differential Equations, Solution Methods and Solutions] (Leipzig: II. Akademische Verlagsgesellschaft, 1959)
[23] Hartman P., Obyknovennye differentsialnye uravneniya [Ordinary differential equations] (M.:Mir, 1970): 719
[24] Courant R., Uravneniya s chastnymi proizvodnymi [Partial equations] (M: Mir, 1964), 845
[25] Petrovsky I.G., Lektsii ob uravneniyah s chastnymi proizvodnymi [Lectures in partial equations] 3rd ed. (М., 1961), 400 [26] Rashevsky P.K., Geometricheskaya teoriya s chastnymi proizvodnymi [Partial geometric theory] (M.-L., 1947)
