Разрешимость и построение решения краевых задач линейных систем с фазовыми ограничениями
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2020.v106.i2.01Ключевые слова:
краевые задачи, фазовые ограничения, оптимизационная задача, минимизирующие последовательности, интегральное уравнениеАннотация
Рассматриваются краевые задачи с фазовыми ограничениями для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Получены необходимое и достаточное условия существования решения краевых задач линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями из заданных множеств при наличии фазовых ограничений.
Предложен метод построения решения краевой задачи с фазовыми ограничениями путем построения минимизирующих последовательностей в функциональном пространстве. Получена оценка скорости сходимости минимизирующих последовательностей.
Основой предлагаемого метода решения краевых задач с фазовыми ограничениями является возможность сведения
указанных задач к одному классу интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода относится к числу малоизученных проблем математики.
Поэтому Фундаментальные исследования по интегральным уравнениям и решение на их основе краевых задач дифференциальных уравнений является основным перспективным направлением в математике.
Предлагается новый метод решения краевых задач линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми ограничениями имеющий многочисленные приложения в теории динамических систем.
Научной новизной полученных результатов являются:
формализация общей задачи динамических систем и приведение ее к краевым задачам обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми ограничениями;
найден новый критерий существования решения краевых задач в виде принципа погружения на основе теоремы существования и построение решения интегрального уравнения;
создан новый метод решения краевых задач линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путем построения минимизирующих последовательностей для специальной начальной задачи оптимального управления.
Библиографические ссылки
[2] Tihonov V.N., Vasilieva A.B. and Sveshnikov A.G., Differentsialnye uravneniya [Differential Equations], (M: Science, 1985), 213.
[3] Smirnov V.I., Kurs vysshei matematiki [Course of higher mathematics], Vol. 4, part II, (M: Science, 1981), 550.
[4] Aysagaliev S.A. and Kalimoldaev M.A., "Konstruktivnyi metod resheniya kraevoi zadachi obyknovennykh differentsial- nykh uravnenii [A constructive method for solving the boundary value problem of ordinary differential equations]", Differential equations Vol. 51, 2 (2015): 147-160.
[5] Aysagaliev S.A., "Upravlyaemosst nekotoroi sistemy differentsialnykh uravnenii [Controllability of a certain system of differential equations]", Differential Equations Vol. 27, 9 (1991): 1475-1486.
[6] Aysagaliev S.A., Problemy kachestvennoi teorii differentsialnykh uravnenii: Izbrannye trudy [Problems of the qualitative theory of differential equations: Selected works] (Almaty: Kazakh University, 2016), 397.
[7] Aisagaliev S.A. and Belgorod A.P., "Controllability and speed of the process described by a parabolic equation with bounded control", Siberian Mathematical Journal Vol. 53, 1 (2012): 13-28.
[8] Aysagaliev S.A., Teoriya upravlyaemosti dinamicheskikh sistem [The theory of controllability of dynamic systems] (Al- maty: Kazakh University, 2014), 158.
[9] Aysagaliev S.A., "Controllability and Optimal Control in Nonlinear Systems", Journal of Computer and Systems. - Sciences International. 32 (1.5) (1994): 73-80.
[10] Aysagaliev S.A. and Kabidoldanova A.A., Optimalnoe upravlenie dinamicheskikh sistem [Optimal control of dynamic systems] (Palmarium Academic Publishing / Germany, Verlag, 2012), 288.
[11] S.A. Aisagaliev and A.A. Kabidoldanova, "On the Optimal Control of Linear Systems with Linear Performance Criterion and Constraints", Differential Equations Vol. 48, 6 (2012): 832-844.
[12] S.A. Aisagaliev and T.S. Aisagaliev, Metody resheniya kraevykh zadach [Methods for solving boundary value problems] (Almaty: Kazakh University, 2002), 348.
[13] Kolmogorov A.N. and Fomin S.V., Elementy teorii funktsii i funktsionalnogo analiza [Elements of function theory and functional analysis], (M.: Nauka, 1989), 624.
[14] Krasnov M.L., Integralnye uravneniya [Integral Equations] (M.: Nauka, 1975), 304.
[15] A.N. Tikhonov and V.Ya. Arsenin, Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for solving ill-posed problems] (M.: Nauka, 1986), 288.
[16] Lavrentiev M.M., O nekotorykh nekorrektnykh zadachakh matematicheskoi fiziki [About some non-core problems of math- ematical physics] (M.: Nauka, 1986), 288.
[17] Ivanov V.K., "Ob integralnykh uravneniyakh Fredgolma pervogo roda [On Fredholm integral equations of the first kind]", Differential equations 3 (1967): 21-32.
[18] Friedman V.M., "Metod posledovatenykh priblizhenii dlya integralnogo uravneniya Fredgolma 1-go roda [The method of successive approximations for the Fredholm integral equation of the first kind]", (UMN XI., Issue I, 1956): 56-85.
[19] F.M. Morse and G. Feshbach, Metody matematicheskoi fiziki [Methods of mathematical physics] Vol. 2, (M.: Izdatelstvo inostrannoi literatury [Publishing house of foreign literature], 1958), 932.
[20] Aysagaliev S.A., "Obshee reshenie odnogo klassa integralnykh uravnenii [The general solution of a class of integral equa- tions]", Mathematical Journal Vol. 5, 4 (18) (2005): 17-34.
[21] Aysagaliev S.A., Konstruktivnaya teoriya kraevykh zadach optimalnogo upravleniya [Constructive theory of boundary value problems of optimal control] (Almaty: Kazakh University, 2007), 328.
[22] S.A. Aisagaliev, A.P. Belogurov and I.V. Sevryugin, "K resheniyu integralnogo uravneniya Fredgolma pervogo roda dlya funktsii neskolkikh peremennykh [To the solution of the Fredholm integral equation of the first kind for a function of several variables]", Vestnik KazNU. Ser. Mat., Mech., Inf. 1 (68) (2011): 3-16.
[23] Aysagaliev S.A., Lektsii po optimalnomu upravleniyu [Lectures on optimal control] (Almaty: Kazakh University, 2007), 278.
[24] S.A. Aisagaliev and J.Kh. Zhunusova, "Razreshimosst i postroenie resheniya uravneniya Fredgolma pervogo roda [Solv- ability and construction of a solution of the Fredholm equation of the first kind]", KazNU Bulletin. Math., Mech., Comp. Sci. Series 1 (88) (2016): 3-16.
[25] Aisagaliev S.A., Aisagaliev S.S. and Kabidoldanova A.A., "Solvability and construction of solution of integral equation", KazNU Bulletin. Math., Mech., Comp. Sci. Series 2 (89) (2016): 3-18.
