Представление функции Грина двумерного гармонического осциллятора
DOI:
https://doi.org/10.26577/MMCS.2020.v107.i3.01Ключевые слова:
функция Грина, функция источника, собственные функции, двумерный гармонический осцилляторАннотация
В 1933 году Курант Р. и Гильберт Д. рассмотрели формальное разложение функции источника по собственным функциям задачи Дирихле оператора Лапласа на прямоугольнике. Оказалось, что указанный ряд не может сходиться абсолютно ни для какой пары внутренних точек прямоугольника. Следовательно, сходимость ряда может быть только условной. Тогда для условной сходимости важен порядок суммирования. Системно подобные разложения изучены в работах В.А.Ильина. В данной работе исследована сходимость разложения функции источника по собственным функциям двумерного гармонического осциллятора. Получено представление функции Грина двумерного гармонического осциллятора. Выделены особенности функции Грина. В результате вытекает, что функция Грина двумерного гармонического осциллятора имеет две особые точки. Особенности расположены симметрично относительно начала координат. Подобного эффекта не наблюдалось в исследованиях В.А.Ильина. Ядра дробного порядка, изученные В.А.Ильиным, имели только одну особую точку. Еще одно обстоятельство отличает функцию Грина двумерного гармонического осциллятора от функции Грина краевых задач в ограниченной области. Функция Грина краевой задачи на плоской ограниченной области имеет логарифмическую особенность. В то же время функция Грина двумерного гармонического осциллятора имеет степенные особенности. Однако степень указанной особенности гораздо меньше, чем степенная особенность функции Грина трехмерной краевой задачи в ограниченной области.
Библиографические ссылки
[2] Birkhoff G.D., "Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations Trans. Amer. Math. Soc. 9 (1908): 373-395.
[3] Tamarkin Ya.D., O nekotoryh obshchih zadachah teorii obyknovennyh differencial’nyh uravnenij [On some General problems of the theory of ordinary differential equations] (Petrograd, 1917).
[4] Stone M.H., "A comparision of the series of Fourier and Birkhoff Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926): 695-761.
[5] Keldysh M.V., "O sobstvennyh znacheniyah i sobstvennyh funkciyah nekotoryh kassov nesamosopryazhennyh linejnyh uravnenij [On eigenvalues and eigenfunctions of certain casses of non-self-adjoint linear equations] Doklady Akad. Nauk SSSR 77:1 (1951): 11-14.
[6] Khromov A.P., "Konechnomernye vozmushcheniya vol’terrovyh operatorov [Finite-dimensional perturbations of Voltaire operators] Modern mathematics. Fundamental direction 10 (2004): 3-162.
[7] Nikiforov A.F., Uvarov V.B., Special’nye funkcij matematicheskoj fiziki [Special functions of mathematical physics] (M: Science, 1984).
[8] Sege G., Ortogonal’nye mnogochleny [Orthogonal polynomials] (М.: GIFML, 1962).
[9] Ильин В.А., "Представление функции источника для прямоугольника в виде билинейного ряда по собственным функциям Doklady Akad. Nauk SSSR 74:3 (1950): 413-416.
[10] Il’in V.A., "Yadra drobnogo poryadka [The kernel of fractional order] Sb. Math. 41(83):4 (1957): 459-480.
