Екi өлшемдi гармоникалық осциллятордың Грин функциясының кескiнделуi
DOI:
https://doi.org/10.26577/MMCS.2020.v107.i3.01Кілттік сөздер:
Грин функциясы, қайнар көз функциясы, меншiктi функциялар, екi өлшемдi гармоникаық осцилляторАннотация
1933 жылы Курант Р. мен Гильберт Д. тіктөртбұрышта Лаплас операторы үшін Дирихле есебінің меншікті функциялары бойынша қайнар көз функциясының формалды жіктелуін қарастырды. Көрсетілген қатар тіктөртбұрыштың ішкі нүктелерінің кез-келген жұбы үшін жинақтала алмайтыны белгілі болды. Сондықтан қатардың жинақтылығы тек шартты болуы мүмкін. Онда шартты жинақтылық үшін қосындылау тәртібі маңызды. Мұндай жіктелулер В.А. Ильиннің еңбектерінде жүйелі түрде зерттелген. Бұл жұмыста екі өлшемді гармоникалық осциллятордың меншікті функциялары бойынша қайнар көз функциясының жіктелуінің жинақталуы зерттелген. Екі өлшемді гармоникалық осциллятордың Грин функциясының түрі алынды. Грин функциясының ерекшеліктері көрсетілген. Нәтижесінде екі өлшемді гармоникалық екені анықталды. Ерекшеліктер координаттар басына қарағанда симметриялы орналасқан. Мұндай әсер В.А. Ильиннің зерттеулерінде байқалған емес. В.А. Ильин зерттеген бөлшек ретті ядролардың бір ғана ерекше нүктесі болды. Тағы бір жағдай екі өлшемді гармоникалық осциллятордың Грин функциясын шенелген облыста шеттік есептердің Грин функциясынан ажыратады: жазық шенелген облыста шеттік есептің Грин функциясының логарифмдік ерекшелігі, ал екі өлшемді гармоникалық осциллятордың Грин функциясының дірежелік ерекшеліктері бар. Алайда, бұл ерекшеліктің дәрежесі шенелген облыстағы үш өлшемді шеттік есептің Грин функциясының дәрежелік ерекшелігінен әлдеқайда аз.
Библиографиялық сілтемелер
[2] Birkhoff G.D., "Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations Trans. Amer. Math. Soc. 9 (1908): 373-395.
[3] Tamarkin Ya.D., O nekotoryh obshchih zadachah teorii obyknovennyh differencial’nyh uravnenij [On some General problems of the theory of ordinary differential equations] (Petrograd, 1917).
[4] Stone M.H., "A comparision of the series of Fourier and Birkhoff Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926): 695-761.
[5] Keldysh M.V., "O sobstvennyh znacheniyah i sobstvennyh funkciyah nekotoryh kassov nesamosopryazhennyh linejnyh uravnenij [On eigenvalues and eigenfunctions of certain casses of non-self-adjoint linear equations] Doklady Akad. Nauk SSSR 77:1 (1951): 11-14.
[6] Khromov A.P., "Konechnomernye vozmushcheniya vol’terrovyh operatorov [Finite-dimensional perturbations of Voltaire operators] Modern mathematics. Fundamental direction 10 (2004): 3-162.
[7] Nikiforov A.F., Uvarov V.B., Special’nye funkcij matematicheskoj fiziki [Special functions of mathematical physics] (M: Science, 1984).
[8] Sege G., Ortogonal’nye mnogochleny [Orthogonal polynomials] (М.: GIFML, 1962).
[9] Ильин В.А., "Представление функции источника для прямоугольника в виде билинейного ряда по собственным функциям Doklady Akad. Nauk SSSR 74:3 (1950): 413-416.
[10] Il’in V.A., "Yadra drobnogo poryadka [The kernel of fractional order] Sb. Math. 41(83):4 (1957): 459-480.
