Асимптотика собственных значений периодической краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым оператором

Аннотация

Работа посвящена изучению спектральных свойств дифференциальных операторов произ- вольного нечетного порядка с суммируемым потенциалом и периодическими граничными условиями. При больших значениях спектрального параметра получена  асимптотика решений дифференциального уравнения, определяющего дифференциальный оператор. Дифференциальное уравнение, определяющее дифференциальный оператор, сводится к интегральному уравнению Вольтерра. Интегральное уравнение решается методом последо- вательных приближений Пикара. Метод обучения операторов с суммируемым потенциалом является расширением метода обучения операторов с кусочно гладкими коэффициентами. Изучение периодических граничных условий приводит к изучению корней целой функции, представленной в виде произвольного определителя нечетного порядка. Для получения корней этой функции была исследована индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения лежат в секторах бесконечно малого угла, определяемого диаграммой индикатора. В статье найдена асимптотика собственных значений рассматриваемого дифференциального оператора. Полученные формулы не позволяют исследовать спектральные свойства соб- ственных функций и вывести формулу для первого регуляризованного следа исследуемого дифференциального  оператора.

Ключевые слова: Дифференциальный оператор нечетного порядка, спектральный пара- метр, суммируемый потенциал, периодические граничные условия, индикаторная диаграмма, асимптотика решений, асимптотика собственные значения.