Двухсторонние оценки радиуса фредгольмовости и условия компактности оператора, связанного с дифференциальным уравнением второго порядка

Аннотация

В настоящей работе изучаются свойства резольвенты линейного оператора, соответствующего вырожденному сингулярному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами, рассматриваемому в пространстве Лебега. Сингулярность указанного дифференциального уравнения означает, что он задан в некомпактной области

- на всей числовой оси, а его коэффициенты являются неограниченными функциями. Получены условия компактности резольвенты, а также двусторонняя оценка его радиуса фредгольмовости. Ранее известные условия компактности резольвенты были получены в предположении, что промежуточный член дифференциального оператора либо отсутствует, либо в операторном смысле подчиняется сумме крайних членов. В настоящей работе эти условия не выполняются вследствие быстрого роста на бесконечности промежуточного коэффициента дифференциального уравнения, а младший коэффициент может менять знак. Наличие свойства компактности резольвенты позволяет, в частности, обосновать процесс нахождения приближенного решения связанного с нею уравнения. Радиус фредгольмовости ограниченного оператора характеризует его близость к фредгольмовому оператору. Коэффициенты оператора предполагаются гладкими функциями, однако мы не накладываем какие-либо ограничения на их производные. В работе существенно использован результат об обратимости этого оператора и оценка его максимальной регулярности, полученные авторами ранее.