Обратная задача восстановления правой части одномерного псевдопараболического уравнения
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2021.v111.i3.03Ключевые слова:
Обратная задача, псевдопараболические уравнения, условие переопределение, существования и единственность решения, классическое решениеАннотация
Обратные задачи нахождения правой части дифференциального уравнения в частных производных возникают когда внешний источник неизвестен или невозможен для измерения, например, источник находится в высокотемпературной среде или под землей. Уравнения в частных производных с смешанным производными по времени и по пространственным переменным обычно называются псевдо-параболическим уравнениям или уравнениям типа Соболева. Псевдо-параболические уравнения встречаются при математическом моделировании многих физических явлений как движения неньютоновских жидкостей, термодинамические процессы, фильтрация в пористой среде, нестационарный поток жидкостей второго порядка и т. д. Настоящая работа посвящена исследованию однозначной разрешимости двух обратных задач для линейного одномерного псевдопараболического уравнения. Обратные задачи состоят из восстановления правой части, зависящего от пространственной переменной. Дополнительная информация для первой обратной задачи задается финальным условием переопределения, а для второй задачи - интегральным условием переопределения. При подходящих условиях на данные первоначальной задачи, устанавливаются существования и единственности классического решения этих обратных задач. С помощью методом Фурье, представлены в виде ряда явные формулы искомых функции, которые позволяют производить необходимые численные расчеты с заданной точностью.
Библиографические ссылки
[2] Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G., "Blow-up in nonlinear Sobolev type equations," ( Ber.: De Gruyter 2011):648.
[3] Ting T.W., "Certain nonsteady flows of second-order fluids," Arch. Rational Mech. Anal. 14 (1963): 1–26.
[4] Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M., "Teoriya nestasionarnoi filtratsii jidkostei i gazov"[Theory of Unsteady
Fluids]," (M.:Nedra 1972): 288.
[5] Huilgol R., "A second order fluid of the differential type," Int. J. Non-Linear Mech. 3 (1968): 471–482.
[6] Zvyagin V.G., Turbin M.V., "The study of initial-boundary value problems for mathematical models of the motion of Kelvin-Voigt fluids," J. Math. Sci. 168 (2017): 157–308.
[7] Kabanikhin S.I., "Obratnye i nekorrectnye zadachi [Inverse and some problems]," (Nobosibirsk.:Sib. nauch. izd., 2009): 458.
[8] Belov Yu.Ya., "Inverse problems for parabolic equations," (Utrecht. VSP. 2002).
[9] Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A., "Methods for solving inverse problems in mathematical physics," (New York: Marcel Dekker 1999) : 744.
[10] Sattorov E.N., Ermamatova Z.E., "Recovery of Solutions to Homogeneous System of Maxwell’s Equations With Prescribed Values on a Part of the Boundary of Domain," Russ Math. 63 (2019) 35–43.
[11] Khompysh Kh., Shakir A., "The inverse problem for determining the right part of the pseudo-parabolic equation," Journal of Math. Mech. Comp. Sci. -105:1 (2020): 87–98.
[12] Kaliev I.A, Sabitova M.M., "Problems of determining the temperature and density of heat sources from the initial and final temperatures," Russian Mathematics 56:2 (2012): 60–64.
[13] Rruzhansky M., Serikbaev D., Tokmagambetov N., "An inverse problem for the pseudo-parabolic equation for Laplace operator," International Journal of Mathematics and Physics 10:1 (2019): 23–28.
[14] Ablabekov B.S., "Obratnaiye zadachi dlya pseudoparabolicheskikh urabnenii [Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations]," (B.:Ilim, 2001): 181.
[15] Asanov A., Atamanov E.R., "Nonclassical and Inverse Problems for Pseudoparabolic Equations," (Ber.: De Gruyter, 1997): 152.
[16] Fedorov V.E., Urasaeva A.V., "An inverse problem for linear Sobolev type equation," J. of Inverse and Ill-posed Prob. 12 (2001): 387–395.
[17] Kozhanov A.I., "On the solvability of inverse coefficient problems for some Sobolev-type equations," Nauchn. Vedom. Belgorod. Univ. 18:5 (2010): 88–97.
[18] Khompysh Kh., "Inverse Problem for 1D Pseudo-parabolic Equation," Fun. Anal. in Interdisciplinary Appl. 216 (2017): 382–387.
[19] Lorenzi A., Paparoni E., "Identification problems for pseudoparabolic integrodifferential operator equations J. Inverse. Ill-Posed Probl. 5 (1997): 235–253.
[20] Lyubanova A.Sh., Tani A., "An inverse problem for pseudoparabolic equation of filtration. The existence, uniqueness and regularity," Appl. Anal. 90 (2011): 1557-1568.
[21] Lyubanova A.Sh., Velisevich A.V., "Inverse problems for the stationary and pseudoparabolic equations of diffusion," Applicable Anal. 98 (2019): 1997–2010.
[22] Antontsev S.N., Aitzhanov S.E., Ashurova G.R., "An inverse problem for the pseudo-parabolic equation with p-Laplacian," Evol. Eq. and Cont. Theo. (2021).
[23] Abylkairov U.U., Khompysh Kh., "An inverse problem of identifying the coefficient in Kelvin-Voight equations," Appl. Math. Sci. 101:9 (2015): 5079–5088.
[24] Khompysh Kh., "Inverse problem with integral overdetermination for system of equations of Kelvin-Voight fluids," Advanced Materials Research 705 (2013) 15–20.
[25] Khompysh Kh., Nugymanova N.K., "Inverse Problem For Integro-Differential Kelvin-Voigt Equation," Jour. of Inverse and Ill-Posed Prob. (Submitted 2021).
[26] Yaman M., "Blow-up solution and stability to an inverse problem for a pseudo-parabolic equation," Jour. of Ineq. and App. (2012): 1–8.
