О корневых функциях нелокального дифференциального оператора второго порядка с краевыми условиями периодического типа
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS.2021.v112.i4.03Ключевые слова:
Нелокальный дифференциальный оператор, спектр, собственное значение, кратность собственных значений, собственная функция, присоединенная функция, езусловный базисАннотация
В настоящей работе рассматривается один класс спектральных задач для нелокального обыкновенного дифференциального оператора (с инволюцией в главной части) с нелокальными краевыми условиями. периодического типа. Такие задачи возникают при решении методом разделения переменных задач для нелокального уравнения теплопроводности. Мы исследуем спектральные свойства задачи для нелокального обыкновенного дифференциального уравнения Ly (x) ≡ −y 00 (x) + εy00 (−x) = λy (x), −1 < x < 1. Здесь λ - спектральный параметр, |ε| < 1. Такие уравнения называются нелокальными, так как они содержат член y 00 (−x) с инволютиционным отклонением аргумента. Краевые условия являются нелокальными y 0 (−1) + ay0 (1) = 0, y (−1) − y (1) = 0. Ранее эта задача была исследована для частного случая a = −1. Нами рассматривается случай a 6= −1. Нами доказан критерий простоты собственных значений задачи: собственные значения будут простыми если и только если число r = sqrt{p (1 − ε) / (1 + ε)} является иррациональным. Мы показали, что если число r иррациональное, то собственные значения задачи - все простые, а система собственных функций задачи является полной и минимальной, но не образует безусловного базиса в L2(−1, 1). Для случая рациональных r доказано, что (специальным образом выбранная) система собственных и присоединенных функций образует безусловный базис в L2(−1, 1).
Библиографические ссылки
[2] Kopzhassarova A. A., Lukashov A. L., Sarsenbi A. M. Spectral Properties of non-self-adjoint perturbations for a
spectral problem with involution // Abstract and Applied Analysis. - 2012. - V. 2012/ - Art. ID 576843/ P. 1-6. DOI:
10.1155/2012/576843.
[3] Kopzhassarova A.A., Lukashov A.L., Sarsenbi A.M. Spectral Properties of non-self-adjoint perturbations for a spectral problem with involution // Abstract and Applied Analysis. - 2012. - V. 2012. - Art. ID 590781. DOI: 10.1155/2012/590781.
4] Kritskov L. V., Sarsenbi A. M. Spectral properties of a nonlocal problem for the differential equation with involution //Differential Equations. - 2015. - V. 51, №8. - P. 984-990.
[5] Kritskov L. V., Sarsenbi A. M. Basicity in Lp of root functions for differential equations with involution // Electronic Journal of Differential Equations. - 2015. - V. 2015, №278. - P. 1-9.
[6] Baskakov A. G, Krishtal I. A., Romanova E. Y. Spectral analysis of a differential operator with an involution // Journal of Evolution Equations. - 2017. - V. 17, №2. - P. 669-684.
[7] Kritskov L. - V., Sarsenbi A. M. Riesz basis property of system of root functions of second-order differential operator with involution // Differential Equations. - 2017. - V. 53, №1. - P. 33-46.
[8] Kritskov L. - V., Sadybekov M. A., Sarsenbi A. M. Nonlocal spectral problem for a second-order differential equation with an involution // Bulletin of the Karaganda University-Mathematics. - 2018. - V. 91, №3. - P. 53-60.
[9] Kritskov L. - V., Sadybekov M. A., Sarsenbi A. M. Properties in Lp of root functions for a nonlocal problem with involution // Turkish Journal of Mathematics. - 2019. - V. 43, №1. - P. 393-401.
[10] Kirane M., Sadybekov M. A., Sarsenbi A. A. On an inverse problem of reconstructing a subdiffusion process from nonlocal data // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2019. - V. 42, №6. - P. 2043-2052.
[11] Vladykina - V. E., Shkalikov A. A. Spectral Properties of Ordinary Differential Operators with Involution // Doklady Mathematics. - 2019. - V. 99, №1. - P. 5-10.
[12] Ashyralyev A., Sarsenbi A. M. Well-posedness of a parabolic equation with nonlocal boundary condition // Boundary Value Problems. - 2015. - V. 2015, №1.
[13] Ashyralyev A., Sarsenbi A. M. Well-Posedness of a Parabolic Equation with Involution // Numerical Functional Analysis and Optimization. - 2017. - V. 38, №1. - P. 1-10.
[14] Orazov I., Sadybekov M. A. One nonlocal problem of determination of the temperature and density of heat sources //Russian Mathematics. - 2012. - V. 56, №2. - P. 60-64.
[15] Orazov I., Sadybekov M. A. On a class of problems of determining the temperature and density of heat sources given initial and final temperature // Siberian Mathematical Journal. - 2012. - V. 53, №1. - P. 146-151.
[16] Kurdyumov - V. P.„ Khromov A. P. The Riesz bases consisting of eigen and associated functions for a functional differential operator with variable structure // Russian Mathematics. - 2010. - V. 54, №2. - P. 39-52.
[17] Sarsenbi A. M., Tengaeva A. On the basis properties of root functions of two generalized eigenvalue problems // Differential Equations. - 2012. - V. 48, №2. - P. 306-308.
[18] Sadybekov M. A., Sarsenbi A. A. Criterion for the basis property of the eigenfunction system of a multiple differentiation operator with an involution // Differential Equations. - 2012. - V. 48, №8. - P. 1112-1118.
[19] Ruzhansky M., Sadybekov M. A., Suragan D. Spectral Geometry of Partial Differential Operators // New York: Taylor & Francis Group. - 2020.
[20] Schmidt W. M. Diophantine Approximations and Diophantine Equations // Mathematics. - 1991.
[21] Bari N. K. Biorthogonal Systems and Bases in Hilbert Space // Uchenye Zapiski Moskovskogo Gosudarstvennogo Universiteta. - 1951. - V. 148, №4 - P. 69-107. [in Russian]
