Салмақтық Соболев кеңістігінде 3-КдФ теңдеуі үшін $H^{1/3}$ жергілікті қисындылық жайлы кейбір нәтижелер
DOI:
https://doi.org/10.26577/JMMCS2023v120i4a1Кілттік сөздер:
Сызықты емес теңдеулер, дисперсиялық теңдеулер, сығу, жартылай топ, сызықтық емес таралуАннотация
Бұл жұмыста бастапқы деректері регулярлы емес k=3 болған жағдайдағы k-жалпыланған Кортевег-де Фриз теңдеуі үшін бастапқы есептің локалдықисындылығына талдау жасалады. k-жалпыланған Кортевег-де Фриз теңдеулері плазма физикасындағы магнитоакустикалық толқындардың, және сонымен қатар оптикалық талшықтардағы импульстердің сызықты емес таралуының моделі ретінде қызмет етеді. Шешімдердің шексіздікте ыдырауын жақсырақ бақылау үшін, көптеген сызықтық емес дисперсиялық теңдеулердің шешілімділігі салмақтық Соболев кеңістігінде зерттеледі. Біздің мақсатымыз k=3 болатын k-жалпыланған Кортевег-де Фриз теңдеуі үшін осы зерттеулерді жалғастыру болып табылады. Әдебиетте бастапқы деректері классикалық Соболев кеңістітерінде жататын бірқатар сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулер үшін көптеген нәтижелер бар. Дегенмен, біздің басты мүддемізбастапқы деректері салмақтық Соболев кеңістігінде жатқан жағдайды зерттеу болып табылады, бұл жағдай аса түсініксіз болып табылады. Қарастырылып отырған дисперсия теңдеулері үшін бастапқы есептерүшін төменгі регулярлық Соболевтік нәтижелер салмақсыз Соболев кеңістігінде s ≥ 1/12 мәндері үшін орнатылған және кейінірек s ≥ −1/6 мәндері үшін де жақсартылған. Біз бұл нәтижелерді алынған бастапқы деректері салмақтық Соболев кеңістігінде жататын k=3 болған жағдайдағы k-жалпыланған Кортевег-де Фризтеңдеуі үшінжақсартамыз.
Библиографиялық сілтемелер
Benedek A., Panzone R., The space Lp, with mixed norm, Duke Math. J., 28 (1961): 301–324.
Bourgain J., Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations. II. The KdV-equation, Geom. Funct. Anal., 3 (1993): 209–262.
Bustamante E., Jimenez J., Mejia J., Cauchy problems for fifth order KDV equations in weighted Sobolev spaces, Electron. J. Differential Equations, (2015): 1–24.
Bustamante E., Jimenez J., Mejia J., The Zakharov-Kuznetsov equation in weighted Sobolev spaces, J. Math. Anal. Appl., 433 (2016): 149–175.
Carvajal X., Gamboa P., Persistence of solutions to nonlinear evolution equations in weighted Sobolev spaces, Electronic Journal of Differential Equations, 169 (2010): 1—10.
Castro A.J, Esfahani A., Zhapsarbayeva L., A note on the quartic generalized Korteweg-de Vries equation in weighted Sobolev spaces, to appear in Nonlinear Anal. (arXiv:2207.12727v2).
Castro A.J., Jabbarkhanov K., Zhapsarbayeva L., The Nonlinear Schr¨odinger-Airy equation in weighted Sobolev spaces, Nonlinear Anal., 223 (2022): 113068.
Fonseca G., Linares F., Ponce G., On persistence properties in fractional weighted space, Proc. Amer. Math. Soc., 143 (2015): 5353–5367.
Ginibre J., Tsutsumi Y., Uniqueness of solutions for the generalized Korteweg-de Vries equation, SIAM J. Math. Anal., 20 (1989): 1388–1425.
Gr¨unrock A., A bilinear Airy-estimate with application to gKdV-3, Differ. Integral Equ., 18 (2005): 1333–1339.
Guo Z., Global well-posedness of Korteweg-de Vries equation in H−3/4 , J. Math. Pur. Appl., 91 (2009): 583–597.
Kato T., On the Cauchy problem for the (generalized) Korteweg-de Vries equation, in Studies in applied mathematics, vol. 8 of Adv. Math. Suppl. Stud., Academic Press, New York. (1983): 93–128.
Kakutani T., Ono H., Weak nonlinear hydromagnetics waves in a cold collision-free plasma, J. Phys. Soc. Jap., 5 (1969): 1305–1318.
Kenig C.E., Ponce G., Vega L., Oscillatory integrals and regularity of dispersive equations, Indiana Univ. Math. J., 10 (1991): 33–68.
Kenig C.E., Ponce G., Vega L., The Cauchy problem for Korteveg-de Vries in Sobolev spaces of negative indices, Duke Math. J., 71 (1993): 1–21.
Kenig C.E., Ponce G., Vega L., Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via the contraction principle, Comm. Pure Appl. Math., 46 (1993): 527–620.
Kishimoto N., Well-posedness of the Cauchy problem for the Korteweg-de Vries equation at the critical regularity, Diff. and Int. Eq., 22 (2009): 447–464.
Kodama Y., Optical solitons in a monomode fiber, Math. Scand., 39 (1985): 597–614.
Ostrovskii L.A., Nonlinear internal waves in a rotating ocean, Okeanologiya, 18 (1978),: 181–191.
Mu˜noz-Garc´ia A., Cauchy problem for KdV equation in weighted Sobolev spaces, Rev. Fac. Cienc., 8 (2019): 83–102.
Nahas J., A decay property of solutions to the k-generalized KdV equation, Adv. Differ. Equat., 17 (2012): 833–858.
Sj¨olin P., Lp maximal estimates for solutions to the Schr¨odinger equation, Math. Scand., 81 (1997): 35–68.
Tao T., Scattering for the quartic generalised Korteweg-de Vries equation, J. Differ. Equ., 32 (2007): 623–651.
