Жылуөткізгіштік теңдеу үшін көпқабатты есептерді Фурье әдісімен шешу

Аннотация

Жылуөткізгіштік  теңдеуіне арналған көпқабатты есептер  жылу және масса алмасудың көптеген салаларында туындайды. Көпқабатты диффузиялық есептердің дәл шешімдерін табудың екі негізгі әдісі бар: айнымалыларды ажырату және интегралдық түрлендірулер. Лаплас түрлендіруі әдісін қолданудың қиындығы кері түрлендіруді табудың күрделілігімен шиеленіседі. Көбінесе кері Лаплас түрлендіруі сандық түрде орындалады. Жылуөткізгіштік теңдеу үшін көпқабатты есептерге ең танымал аналитикалық тәсіл айнымалыларды ажырату әдісі болып табылады. Мұндай есептердің аналитикалық шешімдері өте құнды, өйткені олар шешім тәртібін түсінудің жоғары деңгейін қамтамасыз етеді және сандық шешімдерді салыстырмалы түрде талдау үшін пайдаланылуы мүмкін. Бұл ғылыми мақалада Фурье әдісі арқылы жылуөткізгіштік теңдеуінің көпқабатты есебінің шешімі негізделеді. Коэффициенттері үзілісті жылуөткізгіштік теңдеу үшін бастапқы-шекаралық есеп айнымалылар ажырату әдісі бойынша өзіне-өзі түйіндес емес спектрлік Штурм-Лиувилль меншікті мән есебіне келтіріледі. Мұндай меншікті мәндер есептері жылуөткізгіштік коэффициенттерінің үзілуіне байланысты Штурм-Лиувилль есептерінің әдеттегі түріне жатпайды. Сонымен қатар,  спектрлік есептің өзіне-өзі түйіндес емес болуы  да есепті шешуді қиындатады. Алмастыру арқылы берілген есеп өзіне-өзі түйіндес спектрлік есепке келтіріледі және осы есептің ортонормалдық базисі болатын меншікті функциялары құрылады. Қарастырылып отырған мәселе әртүрлі термофизикалық сипаттамалары бар бірнеше бөліктен тұратын, ұзындықтары ақырлы жіңішке таяқшадағы температуралық өрістің жылу таралу процесін моделдейді. Штурм типіндегі шекаралық шарттарға қосымша, әртүрлі орталардың жанасу нүктесіндегі түйіндес шарттары көрсетілген. Жылуөткізгіштік теңдеу үшін қарастырылып отырған көпқабатты есептің классикалық шешімінің бар және жалғыз екендігі дәлелденді.