Об условиях конечности спектра дифференциального оператора второго порядка с интегральными краевыми условиями

Аннотация

В работе изучается вопрос о конечности спектра дифференциального оператора второго порядка, порожденного в пространстве $H=L_2(0,1)$ интегральными краевыми условиями. Показано, что спектр такого оператора либо бесконечен, либо пуст. Ранее этот результат был известен только в случае двух- или трехточечных краевых условий. Получено необходимое и достаточное условие пустоты спектра в терминах системы из двух уравнений для потенциала $q$ и функций $\sigma_1$ и $\sigma_2$, задающих интегральные краевые условия. Левая часть первого из этих уравнений при каждом фиксированном $q$ является билинейной формой относительно $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Это позволяет разрешить указанное уравнение относительно $\sigma_1$ в пределах некоторой окрестности нуля $U$ пространства $H^3$. Ко второму уравнению такая схема неприменима, однако удается выделить достаточно широкий класс функций $(q,\sigma_1\sigma_2)\in U$, на котором это уравнение превращается в тождество. Далее мы исследуем вопрос: может ли рассматриваемый оператор иметь пустой спектр, если функции $\sigma_1, \sigma_2$ не обязательно близки к нулю (в пространстве $H^2$)? Нами построен класс функций
$\sigma_1$ и $\sigma_2$ (в виде многочленов со сколь угодно большими нормами), таких, что спектр соответствующего оператора пуст. Методика работы может быть распространена на случай, когда $H=L_2(\gamma)$, где $\gamma$ --- кривая с ограниченным наклоном (то есть угловой коэффициент любой хорды по модулю не превосходит некоторого числа).